Задачи теории вероятности с применением теорем

Сегодня рассмотрим простейшие задачи теории вероятностей. Общая методика решения задач рассмотрена на прошлом занятии. Пришло время заострить внимание на классическом определении вероятности события.

Из классического определения вероятности можно понять, что вероятность случайного события – это отношение благоприятного числа событий (те события, вероятность которых ищем) к общему числу событий.

Задача

Научная конференция проводится в 4 дня. Всего запланировано 60 докладов: первые два дня – по 18 докладов, остальные распределены поровну между третьим и четвертым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

Решение

В третий и четвертый день будет по (60-18-18)/2=12. Следовательно благоприятных событий 12 (столько возможностей попасть профессору М в последний ден). Общее число вариантов 60. Значит искомая вероятность  12/60=0,2.

Ответ: 0,2.

Задача

Научная конференция проводится в 3 дня. Всего запланировано 40 докладов: в первый день – 16 докладов, остальные распределены поровну между вторым и третьим. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

Решение

12/40=0,3.

Ответ: 0,3.

Задача

Девять детей встают в хоровод в случайном порядке. Среди них Серёжа и его сестра Маша. Какова вероятность того, что Серёжа и Маша окажутся рядом?

Решение

Фиксируем Серёжу (он и так попадет в круг). Остается 8 детей и из них только два благоприятных места в кругу – слева или справа от Миши. Вероятность равна 2/8=0,25.

Ответ: 0,25.

Задача

Одиннадцать детей встают в хоровод в случайном порядке. Среди них Коля и Маша. Какова вероятность того, что Коля и Маша не окажутся рядом?

Решение

Фиксируем Колю (он и так попадет в круг). Остается 8 детей и из них только два не благоприятных места в кругу – слева или справа от Миши, все остальные нам подходят, таких 8. Вероятность равна 8/10=0,8.

Ответ: 0,8.

Креативная задача

Задача

Даны три двери. Только одна из трех ведет куда нужно. Наблюдатель делает выбор. Затем одну неподходящую дверь убирают. И наблюдатель снова может поменять свой выбор, взяв любую из оставшихся двух дверей, при условии, что он не знает, какую дверь выбрал вначале. В каком из случаев вероятность выбора правильной двери будет больше (нужно ли менять свой выбор двери или остаться при своем).

Решение

В первом случае вероятность равна 1/3. Во втором случае это составное событие состоящие из двух альтернатив.

1 В первый раз попалась правильная дверь (вероятность 1/3) и во втором случае уже не из чего выбирать (вероятность 0). Следовательно вероятность такого события 1/3*0.

2 В первом случае попалась неправильная дверь (вероятность 2/3) и во втором случае точно попадется правильна (вероятность 1). Следовательно вероятность такого события 2/3*1.

Т.к. может возникнуть или одно событие или другое, то вероятность такого события равна: 1/3*0+2/3*1=2/3.

1/3 меньше 2/3.

Можно сделать вывод, что при получении новой информации модель необходимо перестраивать.

Ответ: во втором случае больше.