Задачи на теорию вероятностей: составные события

Во многих случаях быстро и просто решить задачу из раздела Теории вероятностей можно с помощью классического определения вероятности. Для этого необходимо только правильно посчитать количество общих и благоприятных исходов, и найти их соотношение. Что же делать, когда события не являются простыми? Разберем на уроке.

Здесь нам как обычно поможет методика.

1. Оцениваем, простое событие или составное.

Составным называются событие, появление которого зависит от появления других событий, которые называются простыми.

2. Пытаемся переформулировать задачу, чтобы легче было считать.

Иногда проще посчитать противоположное событие, а затем вычесть из 1.

3. Затем простые события в составе составного нужно между собой перемножить или сложить, пользуясь следующими теоремами (если союз «или», то +, если «и», то *).

Теорема о сложении вероятностей. Вероятность появления одного из двух несовместныхсобытий равна сумме вероятностей этих событий.

Теорема об умножении вероятностей. Вероятность произведения независимых событий А и Ввычисляется по формуле:

.

Рассмотрим примеры.

Задача 1.

При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,3, а при каждом последующем – 0,9. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,96?

Решение

Чтобы вероятность была не  менее 0,96, составим такое выражение:
0,3+0,7*0,9+0,7*0,1*0,9=0,993>0.96.

Что можно интерпретировать как система попала в первый раз (0,3) или (+) не попав в первый раз, попадает во второй (0,7*0,9) или (+) не попав в первый и второй разы, попадает в третий раз. Т.о. достаточно три выстрела.

Ответ: 3 выстрела.

Задача 2.

На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение

Находим сумму вероятностей. Т.к. нужно найти вероятность или одного события или другого, то 0,2 + 0,15 = 0,35.

Ответ: 0,35.

Ответ: .