Где логика? или почему математика такая крутая
Пришло время узнать, почему в повседневной жизни люди никогда не смогут логично объяснять свое поведение, а математики успешно решали эту проблему еще в древней Греции.
Можно встретить высказывание, что математика – это язык вселенной, т.к. она используется для описание химических и физических процессов. Нет, конечно же ученые не питают романтических иллюзий, что Творец при создании нашего мира ходил с линейкой и циркулем, но математика по сравнению с другими языками описания наиболее точно описывает получаемый результат.
Как образно выглядит описание Пушкина: «…Одной ногой медленно кружит, и вдруг прыжок, и вдруг летит…» Но вам оно не поможет, если вы захотите освоить основные фигуры классического танца. Зато как только вам объяснят про положение корпуса и рук относительно друг друга и зала (евклидова геометрия), перечислят основные позиции по номерам (теория чисел), картина начнет проясняться. И это только в танцах, что же говорить про пропорции в химии, уравнения траекторий движения в физике, выводы на основе статистических данных в маркетинге! Да, без математики никуда! Освоим же ее побыстрее, забыв прежние выводы со школы, что вы гуманитарии!
Математика – чрезвычайно обширная область, поэтому мы рассмотрели только наиболее актуальные темы, с которыми современный человек встречается каждый день.
Как доказываются теоремы или «Где логика?»
В чем сила математики? Ну в первую очередь в логике (речь идет о формальной логике). Конечно, «нелогичный» человек чаще всего вызовет ощущение сумасшедшего, но как часто в светских беседах и спорах, не говоря уже о наших жизненных стратегиях, мы нарушаем законы логики. Рассмотрим четыре основных, описанных еще Аристотелем, которые как и многие другие, никогда не нарушаются в ходе доказательства теорем математиками.
- Закон тождества.
Если простым языком, то пример нарушения этого закона выглядит так: «В огороде – бурьян, а в Киеве – дядька.» Тождественные преобразования в математике в каждой формуле, например по определению степени числа «иск в квадрате равен икс умноженный на икс». Вот мы и заменили одно высказывание другим (тождественным), поставив между ними равенство.
- Закон противоречия.
Пожалуй, это любимый прием математиков при доказательстве теорем. Не могут быть одновременно истинны два противоположных суждения об одном и том же предмете, взятых в одном и том же отношении в одно и то же время. Например, если утверждается, что «Байкал — глубокое озеро», то нельзя одновременно утверждать, что «Байкал — мелкое озеро».
- Закон исключения третьего.
Закон исключённого третьего, как и все другие логические законы, является отображением в нашем сознании одной из сторон материальной действительности.
Какой же именно стороны? Поясним это на таком примере: дерево, растущее у нашего дома, является или берёзой, или не берёзой, и ничем третьим оно быть не может; чернила, которыми мы пишем, имеют или чёрный цвет, или какой-нибудь другой цвет, т. е. не чёрный.
- Закон достаточного основания.
Порой, чтобы доказать свое убеждение, мы нарушаем причинно-следственную связь, т.е. делаем выводы из несвязанных фактов.
Этот закон (в утрированной форме) хорошо знаком на примере решений уравнений. Сам процесс выглядел как постепенная замена имеющегося уравнения на равносильное ему, т.е. с тем же множеством решений. Например, 2х=6, х=3. Как только случалась арифметическая ошибка, т.е. нарушился закон достаточного основания, например 5х=15, х=5, вы получали соответствующую оценку.
Все эти законы крайне важны не только для математиков, но и для других наук, т.к. их несоблюдение рождает лженауки, например алхимию или астрологию. Но вот в чем математика действительно уникальна, так это в том, что только в ней проводятся доказательства (в строгом смысле). Нет, разумеется вы можете услышать фразу «Докажи!» в повседневности и далее за этим аргументированные высказывания, похожие на доказательства, но это только объяснения, в которых к тому же нарушаются законы логики, т.к. не нарушить их не возможно из-за неоднозначности самого нашего языка. Так называемые лингвистические неопределенности (категории, которые сложно описать количественно или обозначающие абстрактные понятия), например «красный», «быстро», «ярко», рождают образы, за которыми каждый представляет что-то свое. Математика же стремится все формализовать однозначным образом и уже на основе этих объектов выстраивать целые конструкции и системы.