Экономические задачи ЕГЭ (задание 17. С5)
В открытом уроке обсуждаем общие приемы, позволяющие решать экономические задачи на проценты в финансовой математике. Как работать с начисленными суммами рассказывает математик, аспирант Алевтина Шаталова. Также рассмотрим решение нескольких типовых примеров 17-го задания (С5 в ЕГЭ).
Общий принцип решения задач изложен в видео:
Задача 1
В регионе A среднемесячный доход на душу населения в 2014 году составлял 43 740 рублей и ежегодно увеличивался на 25%. В регионе B среднемесячный доход на душу населения в 2014 году составлял 60 000 рублей. В течение трёх лет суммарный доход жителей региона B увеличивался на 17% ежегодно, а население увеличивалось на m% ежегодно. В 2017 году среднемесячный доход на душу населения в регионах A и B стал одинаковым. Найдите m.
Решение
2014 | 2015 | 2017 | 2017 | |
---|---|---|---|---|
Регион А | 43740 | 43740*0,25 | 43740*0,25^2 | 43740*0,25^3 |
Регион B | 60000 | 60000*0,17 | 60000*0,17^2 | 60000*0,17^3 |
Так как также наблюдался прирост населения на m%, то с учетом этого в первый год разделим на прирост 1+0,01m. Так как прирост наблюдался три года, то
с учетом прироста В:
\[ {60000*0,17^3}\over({1+0.01m})^3 \]
По условию они сравнялись:
\[ {{60000*0,17^3}\over({1+0.01m})^3}=43740*0.25^3 \]
\[ {{(1+0.01m})^3}={{60000*0,17^3}\over{43740*0.25^3}} \]
\[ {{(1+0.01m})^3}={{6000*0,17^3}\over{4374*0.25^3}} \]
\[ {{(1+0.01m})^3}={{10^3*0,17^3}\over{9^3*0.25^3}} \]
\[ {1+0.01m}={{10*0,17}\over{9*0.25}} \]
m=4
Ответ: 4%.
Задача 2
Миша и Маша положили в один и тот же банк одинаковые суммы под 10% годовых. Через год сразу после начисления процентов Миша снял со своего счета 5000 рублей, а еще через год снова внес 5000 рублей. Маша, наоборот, через год доложила на свой счет 5000 рублей, а еще через год сразу после начисления процентов сняла со счета 5000 рублей. Кто через три года со времени первоначального вложения получит большую сумму и на сколько рублей?
Решение
Пусть а – исходная сумма.
1 год 2 год 3 год
Миша 1,1a-5000 (1,1a-5000)1,1+5000 ((1,1a-5000)1,1+5000)1,1
Маша 1,1a+5000 (1,1a+5000)1,1-5000 ((1,1a+5000)1,1-5000)1,1
Теперь вычислим их разницу:
((1,1a+5000)1,1-5000)1,1-((1,1a+5000)1,1-5000)1,1=1,1((1,1a+5000)1,1-5000-(1,1a+5000)1,1+5000)=1,1*10000=1100.
Ответ: Маша, на 1100 рублей.
Задача 3
Близнецы Саша и Паша положили в банк по 50 000 рублей на три года под 10% годовых Однако через год и Саша, и Паша сняли со своих счетов соответственно 10% и 20% имеющихся денег. Еще через год каждый из них снял со своего счета соответственно 20 000 рублей и 15 000 рублей. У кого из братьев к концу третьего года на счету окажется большая сумма денег? На сколько рублей?
Решение
Пусть а – исходная сумма. Если из нее вычитают 10%, следовательно остается 0,9а. Аналогично, если 20 %, то искомая сумма 0,8а.
1 год 2 год 3 год
Миша 1,1*50000*0,9 1,1*50000*0,9-20000 (1,1*50000*0,9-20000)1,1
Маша 1,1*50000*0,8 1,1*50000*0,8-15000 (1,1*50000*0,8-15000)1,1
Теперь вычислим их разницу:
(1,1*50000*0,9-20000)1,1-(1,1*50000*0,8-15000)1,1=1,1(1,1*50000*0,9-20000-1,1*50000*0,8+15000)=1,1(50000*1,1^2*0,1-5000)=1,1*5000(1,21-1)=1155.
Ответ: у Саши, на 1155 рублей.