Экономические задачи ЕГЭ (задание 17. С5)

лаборатория обучения

Экономические задачи ЕГЭ (задание 17. С5)

26 января, 2019 урок 0
business-camera-coffee

В открытом уроке обсуждаем общие приемы, позволяющие решать экономические задачи на проценты в финансовой математике. Как работать с начисленными суммами рассказывает математик, аспирант Алевтина Шаталова. Также рассмотрим решение нескольких типовых примеров 17-го задания (С5 в ЕГЭ).

Общий принцип решения задач изложен в видео:

Задача 1

В регионе A среднемесячный доход на душу населения в 2014 году составлял 43 740 рублей и ежегодно увеличивался на 25%. В регионе B среднемесячный доход на душу населения в 2014 году составлял 60 000 рублей. В течение трёх лет суммарный доход жителей региона B увеличивался на 17% ежегодно, а население увеличивалось на m% ежегодно. В 2017 году среднемесячный доход на душу населения в регионах A и B стал одинаковым. Найдите m.

Решение

   2014    2015    2017    2017
Регион А    43740    43740*0,25    43740*0,25^2    43740*0,25^3
Регион B    60000    60000*0,17    60000*0,17^2    60000*0,17^3

Так как также наблюдался прирост населения на m%, то с учетом этого в первый год разделим на прирост 1+0,01m. Так как прирост наблюдался три года, то

с учетом прироста В:

\[ {60000*0,17^3}\over({1+0.01m})^3 \]

По условию они сравнялись:

\[ {{60000*0,17^3}\over({1+0.01m})^3}=43740*0.25^3 \]

\[ {{(1+0.01m})^3}={{60000*0,17^3}\over{43740*0.25^3}} \]

\[ {{(1+0.01m})^3}={{6000*0,17^3}\over{4374*0.25^3}} \]

\[ {{(1+0.01m})^3}={{10^3*0,17^3}\over{9^3*0.25^3}} \]

\[ {1+0.01m}={{10*0,17}\over{9*0.25}} \]

m=4

Ответ: 4%.

Задача 2

Миша и Маша положили в один и тот же банк одинаковые суммы под 10% годовых. Через год сразу после начисления процентов Миша снял со своего счета 5000 рублей, а еще через год снова внес 5000 рублей. Маша, наоборот, через год доложила на свой счет 5000 рублей, а еще через год сразу после начисления процентов сняла со счета 5000 рублей. Кто через три года со времени первоначального вложения получит большую сумму и на сколько рублей?

Решение

Пусть а – исходная сумма.

                           1 год                      2 год                                               3 год

Миша         1,1a-5000      (1,1a-5000)1,1+5000            ((1,1a-5000)1,1+5000)1,1

Маша         1,1a+5000     (1,1a+5000)1,1-5000             ((1,1a+5000)1,1-5000)1,1

Теперь вычислим их разницу:

((1,1a+5000)1,1-5000)1,1-((1,1a+5000)1,1-5000)1,1=1,1((1,1a+5000)1,1-5000-(1,1a+5000)1,1+5000)=1,1*10000=1100.

Ответ: Маша, на 1100 рублей.

Задача 3

Близнецы Саша и Паша положили в банк по 50 000 рублей на три года под 10% годовых Однако через год и Саша, и Паша сняли со своих счетов соответственно 10% и 20% имеющихся денег. Еще через год каждый из них снял со своего счета соответственно 20 000 рублей и 15 000 рублей. У кого из братьев к концу третьего года на счету окажется большая сумма денег? На сколько рублей?

Решение

Пусть а – исходная сумма. Если из нее вычитают 10%, следовательно остается 0,9а. Аналогично, если 20 %, то искомая сумма 0,8а.

                           1 год                         2 год                                               3 год

Миша         1,1*50000*0,9       1,1*50000*0,9-20000            (1,1*50000*0,9-20000)1,1

Маша         1,1*50000*0,8       1,1*50000*0,8-15000             (1,1*50000*0,8-15000)1,1

Теперь вычислим их разницу:

(1,1*50000*0,9-20000)1,1-(1,1*50000*0,8-15000)1,1=1,1(1,1*50000*0,9-20000-1,1*50000*0,8+15000)=1,1(50000*1,1^2*0,1-5000)=1,1*5000(1,21-1)=1155.

Ответ: у Саши, на 1155 рублей.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Вставить формулу как
Блок
Строка
Дополнительные настройки
Цвет формулы
Цвет текста
#333333
Используйте LaTeX для набора формулы
Предпросмотр
\({}\)
Формула не набрана
Вставить