Задачи на смекалку – обмен монет. ЕГЭ. Математика (базовый уровень)
Так называемые задачи на смекалку – это олимпиадные задачи, которые включены в программу средней школы. Чтобы преуспеть в их решении можно применять математическое моделирование или решать методом подбора.
Данные задачи попадаются последними в базовом уровне математики ЕГЭ в школе. Разберем те из них, которые непосредственно можно решить, составляя математически модели – уравнения.
Задача 1.
Источник: ЕГЭ — 2015. Досрочная волна.
В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:
• за 2 золотых монеты получить 3 серебряных и одну медную;
• за 5 серебряных монет получить 3 золотых и одну медную.
У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 50 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?
Решение задачи 1.
Составим математическую модель:
\[ \begin{equation*} \begin{cases} 2з=3с+1м \\ 5c=3з+1м \end{cases} \end{equation*} \]
Выразим золотые монеты через серебряные и медные:
\[ \begin{equation*} \begin{cases} 2з=3с+1м \\ 3з=5с-1м \end{cases} \end{equation*} \]
\[ \begin{equation*} \begin{cases} 2з=3с+1м \\ 1з={{5}\over{3}}с-{1\over3}м \end{cases} \end{equation*} \]
\[ \begin{equation*} \begin{cases} 2({{5}\over{3}}с-{1\over3}м)=3с+1м \\ 1з={{5}\over{3}}с-{1\over3}м \end{cases} \end{equation*} \]
\[ \begin{equation*} \begin{cases} {{10}\over{3}}с-{2\over3}м=3с+1м \\ 1з={{5}\over{3}}с-{1\over3}м\end{cases} \end{equation*} \]
\[ \begin{equation*} \begin{cases} {{1}\over{3}}с={{5}\over{3}}м \\ 1з={{5}\over{3}}с-{1\over3}мс \end{cases} \end{equation*} \]
\[ \begin{equation*} \begin{cases} 1с=5м \\ 1з={{5}\over{3}}с-{1\over3}м \end{cases} \end{equation*} \]
Т.к. у Николая появилось 50 медных монет, следовательно, количество серебряных монет уменьшилось на 10.
Ответ: 10.
Задача 2.
Источник: Апробация базового ЕГЭ по математике, 13—17 октября: вариант 166082.
В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:
1) за 3 золотых монеты получить 4 серебряных и одну медную;
2) за 6 серебряных монет получить 4 золотых и одну медную.
У Николы были только серебряные монеты. После посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 35 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николы?
Решение задачи 2.
Составим математическую модель:
\[ \begin{equation*} \begin{cases} 3з=4с+1м \\ 6c=4з+1м \end{cases} \end{equation*} \]
Выразим золотые монеты через серебряные и медные:
\[ \begin{equation*} \begin{cases} 3з=4с+1м \\ 4з=6с-1м \end{cases} \end{equation*} \]
\[ \begin{equation*} \begin{cases} 3з=4с+1м \\ 1з={6\over4}с-{1\over4}м \end{cases} \end{equation*} \]
\[ \begin{equation*} \begin{cases} 3({6\over4}с-{1\over4}м)=4с+1м \\ 1з={6\over4}с-{1\over4}м \end{cases} \end{equation*} \]
\[ \begin{equation*} \begin{cases} {{18}\over{4}}с-{3\over4}м=4с+1м \\ 1з={6\over4}с-{1\over4}м \end{cases} \end{equation*} \]
\[ \begin{equation*} \begin{cases} {{2}\over{4}}с={{7}\over{4}}м \\ 1з={6\over4}с-{1\over4}м \end{cases} \end{equation*} \]
\[ \begin{equation*} \begin{cases} 1с=7м \\ 1з={6\over4}с-{1\over4}м \end{cases} \end{equation*} \]
Тогда
\[ 35м=10с \]
Т.к. у Николая появилось 35 медных монет, следовательно, количество серебряных монет уменьшилось на 10.
Ответ: 10.
Задача 3.
Источник: Пробный экзамен Саратов 2016. Вариант 1.
В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:
1) за 4 золотых монеты получить 5 серебряных и одну медную;
2) за 7 серебряных монет получить 5 золотых и одну медную.
У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 90 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?
Решение задачи 3.
Составим математическую модель:
\[ \begin{equation*} \begin{cases} 4з=5с+1м \\ 7c=5з+1м \end{cases} \end{equation*} \]
Выразим золотые монеты через серебряные и медные:
\[ \begin{equation*} \begin{cases} 4з=5с+1м \\ 5з=7с-1м \end{cases} \end{equation*} \]
\[ \begin{equation*} \begin{cases} 4з=5с+1м \\ 1з={7\over5}с-{1\over5}м \end{cases} \end{equation*} \]
\[ \begin{equation*} \begin{cases} 4({7\over5}с-{1\over5}м)=5с+1м \\ 1з={7\over5}с-{1\over5}м \end{cases} \end{equation*} \]
\[ \begin{equation*} \begin{cases} {{28}\over{5}}с-{4\over5}м=5с+1м \\ 1з={7\over5}с-{1\over5}м \end{cases} \end{equation*} \]
\[ \begin{equation*} \begin{cases} {{3}\over{5}}с={{9}\over{5}}м \\ 1з={7\over5}с-{1\over5}м \end{cases} \end{equation*} \]
\[ \begin{equation*} \begin{cases} 1с=3м \\ 1з={7\over5}с-{1\over5}м \end{cases} \end{equation*} \]
Тогда
\[ 90м=30с \]
Т.к. у Николая появилось 90 медных монет, следовательно, количество серебряных монет уменьшилось на 30.
Ответ: 30.