Задачи на смекалку – обмен монет. ЕГЭ. Математика (базовый уровень)

лаборатория обучения

Задачи на смекалку – обмен монет. ЕГЭ. Математика (базовый уровень)

15 июля, 2018 урок 0
abacus-addition

Так называемые задачи на смекалку – это олимпиадные задачи, которые включены в программу средней школы. Чтобы преуспеть в их решении можно применять математическое моделирование или решать методом подбора.

Данные задачи попадаются последними в базовом уровне математики ЕГЭ в школе. Разберем те из них, которые непосредственно можно решить, составляя математически модели – уравнения.

 

Задача 1.

Источник: ЕГЭ — 2015. До­сроч­ная волна.

В об­мен­ном пункте можно со­вер­шить одну из двух операций:
• за 2 зо­ло­тых монеты по­лу­чить 3 се­реб­ря­ных и одну медную;
• за 5 се­реб­ря­ных монет по­лу­чить 3 зо­ло­тых и одну медную.
У Ни­ко­лая были толь­ко серебряные монеты. После нескольких посещений об­мен­но­го пункта се­реб­ря­ных монет у него стало меньше, зо­ло­тых не появилось, зато по­яви­лось 50 медных. На сколь­ко уменьшилось ко­ли­че­ство серебряных монет у Николая?

Решение задачи 1.

Составим математическую модель:

\[ \begin{equation*}  \begin{cases}    2з=3с+1м    \\   5c=3з+1м  \end{cases} \end{equation*} \]

Выразим золотые монеты через серебряные и медные:

\[ \begin{equation*}  \begin{cases}    2з=3с+1м    \\   3з=5с-1м  \end{cases} \end{equation*} \]

\[ \begin{equation*}  \begin{cases}    2з=3с+1м    \\   1з={{5}\over{3}}с-{1\over3}м  \end{cases} \end{equation*} \]

\[ \begin{equation*}  \begin{cases}    2({{5}\over{3}}с-{1\over3}м)=3с+1м    \\   1з={{5}\over{3}}с-{1\over3}м \end{cases} \end{equation*} \]

\[ \begin{equation*}  \begin{cases}   {{10}\over{3}}с-{2\over3}м=3с+1м    \\   1з={{5}\over{3}}с-{1\over3}м\end{cases} \end{equation*} \]

\[ \begin{equation*}  \begin{cases}    {{1}\over{3}}с={{5}\over{3}}м    \\   1з={{5}\over{3}}с-{1\over3}мс \end{cases} \end{equation*} \]

\[ \begin{equation*}  \begin{cases}    1с=5м    \\   1з={{5}\over{3}}с-{1\over3}м \end{cases} \end{equation*} \]

Т.к. у Николая появилось 50 медных монет, следовательно, количество серебряных монет уменьшилось на 10.

Ответ: 10.

 

Задача 2.

Источник: Апро­ба­ция ба­зо­во­го ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке, 13—17 октября: ва­ри­ант 166082.

В об­мен­ном пунк­те можно со­вер­шить одну из двух операций:
1) за 3 зо­ло­тых мо­не­ты по­лу­чить 4 се­реб­ря­ных и одну медную;
2) за 6 се­реб­ря­ных монет по­лу­чить 4 зо­ло­тых и одну медную.
У Ни­ко­лы были толь­ко се­реб­ря­ные монеты. После по­се­ще­ний об­мен­но­го пунк­та се­реб­ря­ных монет у него стало меньше, зо­ло­тых не появилось, зато по­яви­лось 35 медных. На сколь­ко умень­ши­лось ко­ли­че­ство се­реб­ря­ных монет у Николы?

Решение задачи 2.

Составим математическую модель:

\[ \begin{equation*}  \begin{cases}    3з=4с+1м    \\   6c=4з+1м  \end{cases} \end{equation*} \]

Выразим золотые монеты через серебряные и медные:

\[ \begin{equation*}  \begin{cases}    3з=4с+1м    \\   4з=6с-1м  \end{cases} \end{equation*} \]

\[ \begin{equation*}  \begin{cases}   3з=4с+1м    \\   1з={6\over4}с-{1\over4}м  \end{cases} \end{equation*} \]

\[ \begin{equation*}  \begin{cases}    3({6\over4}с-{1\over4}м)=4с+1м    \\   1з={6\over4}с-{1\over4}м \end{cases} \end{equation*} \]

\[ \begin{equation*}  \begin{cases}    {{18}\over{4}}с-{3\over4}м=4с+1м    \\   1з={6\over4}с-{1\over4}м \end{cases} \end{equation*} \]

\[ \begin{equation*}  \begin{cases}    {{2}\over{4}}с={{7}\over{4}}м    \\   1з={6\over4}с-{1\over4}м \end{cases} \end{equation*} \]

\[ \begin{equation*}  \begin{cases}    1с=7м    \\   1з={6\over4}с-{1\over4}м \end{cases} \end{equation*} \]

Тогда

\[ 35м=10с \]

Т.к. у Николая появилось 35 медных монет, следовательно, количество серебряных монет уменьшилось на 10.

Ответ: 10.

 

Задача 3.

Источник: Пробный экзамен Саратов 2016. Вариант 1.

В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:
1) за 4 золотых монеты получить 5 серебряных и одну медную;
2) за 7 серебряных монет получить 5 золотых и одну медную.
У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 90 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?

Решение задачи 3.

Составим математическую модель:

\[ \begin{equation*}  \begin{cases}    4з=5с+1м    \\   7c=5з+1м  \end{cases} \end{equation*} \]

Выразим золотые монеты через серебряные и медные:

\[ \begin{equation*}  \begin{cases}   4з=5с+1м    \\   5з=7с-1м  \end{cases} \end{equation*} \]

\[ \begin{equation*}  \begin{cases}   4з=5с+1м   \\   1з={7\over5}с-{1\over5}м  \end{cases} \end{equation*} \]

\[ \begin{equation*}  \begin{cases}    4({7\over5}с-{1\over5}м)=5с+1м    \\   1з={7\over5}с-{1\over5}м \end{cases} \end{equation*} \]

\[ \begin{equation*}  \begin{cases}    {{28}\over{5}}с-{4\over5}м=5с+1м    \\   1з={7\over5}с-{1\over5}м \end{cases} \end{equation*} \]

\[ \begin{equation*}  \begin{cases}    {{3}\over{5}}с={{9}\over{5}}м    \\   1з={7\over5}с-{1\over5}м \end{cases} \end{equation*} \]

\[ \begin{equation*}  \begin{cases}    1с=3м    \\   1з={7\over5}с-{1\over5}м \end{cases} \end{equation*} \]

Тогда

\[ 90м=30с \]

Т.к. у Николая появилось 90 медных монет, следовательно, количество серебряных монет уменьшилось на 30.

Ответ: 30.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Вставить формулу как
Блок
Строка
Дополнительные настройки
Цвет формулы
Цвет текста
#333333
Используйте LaTeX для набора формулы
Предпросмотр
\({}\)
Формула не набрана
Вставить